Filosofía Barata y Zapatos de Goma (II)

En esta ocasión continúo con las respuestas aportadas por NBV acerca del Infinito. Disfrútenlo. 

RESPONDIENDO CON UN ACTO DE MAGIA. 

NBV* 

Me alegró mucho que varias personas se animaran a responder en el post donde planteaba un par de ejercicios. Eso significa que se cumplió mi propósito. Para todos los que respondieron, a los que no, y a los que quieren saber la respuesta, aquí les va. 

Primera Respuesta: Supongamos que tenemos un conjunto infinito de conejos blancos. Cada uno de ellos está numerado: el conejo #1, el conejo #2, el conejo #3, el conejo # n, y así sucesivamente. Pronunciamos unas palabras mágicas y de repente los conejos con números pares, es decir, el conejo #2, el conejo #4, el conejo #6, etcétera, se han vuelto negros. ¿Cuántos conejos negros hay?

La respuesta es asombrosa: el número de conejos negros que hay después del acto de magia es exactamente la misma cantidad de conejos blancos que teníamos en un principio, antes del acto de magia.

Supongamos que podemos disponer el conjunto original y el conjunto de conejos negros en dos columnas, una al lado de la otra, como en la figura 2. Ahora a cada conejo blanco del conjunto original le asociamos un conejo negro de la siguiente manera: al número 1, le asociamos el 2; al número 2 le asociamos el 4; al número 3 le asociamos el 6... al número n le asociamos el 2n. Es claro que, como a cada conejo del conjunto original le hicimos corresponder un conejo negro (y sólo un conejo negro), hay tantos conejos negros como conejos blancos había en un principio. Así, del conjunto (o colección) de conejos C que teníamos originalmente, extrajimos una subcolección (o subconjunto) S (los conejos que pintamos de negro con el hechizo) que tiene tantos elementos como C. El todo no siempre tiene más elementos que las partes. Una propiedad desconcertante del infinito. Así, del conjunto (o colección) de conejos C que teníamos originalmente, extrajimos una subcolección (o subconjunto) S (los conejos que pintamos de negro con el hechizo) que tiene tantos elementos como C. El todo no siempre tiene más elementos que las partes. Una propiedad desconcertante del infinito. 

Segunda respuesta: Esta es más difícil, porque depende de lo que entendamos por "contar". Una de las acepciones que podemos darle al verbo es "decir cuántos elementos tiene un conjunto". Y en ese sentido un conjunto infinito sí puede contarse. Como ven, pudimos decir en el ejemplo anterior cuántos elementos tenía el conjunto de los conejos negros, aunque era un conjunto infinito. Tanto el conjunto original de conejos blancos, como el conjunto de los conejos negros, tenían la misma cantidad de elementos que el conjunto de los números naturales (para eso los numeré en un principio) y decirlo, equivale en cierto modo a contar esos conjuntos. Lo que no se puede hacer con todos los conjuntos infinitos es numerarlos. Es decir, hay conjuntos infinitos que tienen todavía más elementos que el conjunto de los números naturales. Para quien tenga ánimos de seguir, eso es material para otro post. 

*Por motivos personales, NBV ha suprimido su página