Feliz Año :)

Holas a todo el mundo: ¡Feliz Año!

Comienzo diciendo que se equivocan si creen que voy a abandonar el tema de Amadeus, jajaja. Todavía debe faltarme uno o dos posts relativos a esta película. Ocurre lo siguiente: aún y cuando nadie me leyera ni quisiera hacerlo, eso no quita que tengo cosas para decir. Se me ha atrofiado tanto la verbalización de mis pensamientos que me cuesta mucho escribir, pero ahora me interesa expresarme, ya como un reto personal.

No tengo ganas de realizar balances públicos de lo que fue para mí el año 2007. Siento, sin embargo, una buena vibra para este 2008 que deseo se mantenga hasta que finalice :). Siento que he comenzado enero con un buen pie.

Así que con esta reseñita me despido, pero no sin antes presentar mi primera encuesta: un pequeño concurso para medir mi mejor foto Simpson ;). A ver, cuál les gusta más (la B es cortesía de un buen amigo :).

A: Al despertar

B: Normal

C: Arregladita

¡Besos!

P.D. Las imágenes fueron sacadas de las siguientes direcciones:
A y B: http://www.simpsonsmovie.com/
C: http://simpsonizeme.com/#

Problema de inducción: Resolución parcial.

Hace relativamente poco dejé un pequeño problema de inducción, cuyo enunciado podrá encontrar aquí y por supuesto, no repetiré. Como mencioné, había resuelto parcialmente -junto a Pipo- un caso específico de este ejercicio, vale decir, cuando G = 1, por supuesto, utilizando inducción. Así que comienzo.

Veamos para n = 2. Tendríamos que a₁ * a₂ = 1. Por otra parte:

(a₁ - 1)² = a₁² - 2 * a₁ + 1 > 0
↓
a₁² + 1 > 2 * a₁
↓

a12 + 1	> 2
a1

↓

a1 +	1	> 2
	a1

↓
a₁ + a₂ > 2
Por lo tanto, es válido para n = 2

Supóngase cierto para n = k.

Para n = k +1 se tiene:

a₁ * a₂ * ··· * a_k * a_k+1 = 1. Si a₁ = ··· = a_k+1 = 1, el problema se torna trivial. Supóngase que al menos existe un a_i tal que a_i ≠ 1. Entonces, debe existir al menos un a_j tal que a_j > 1. Hagamos b = a_i * a_j. Entonces, se tiene:

1 = a₁ * ··· * a_i * ··· * a_j * ··· * a_k+1
↓
1 = b * a₁ * ··· * a_i-1 * a_i+1 * ··· * a_j-1 * a_j+1 * ··· * a_k+1

Llamemos:
A = a₁ + ··· + a_i + ··· + a_j + ··· + a_k+1
B = b + a₁ + ··· + a_i-1 + a_i+1 + ··· + a_j-1 + a_j+1 +··· + a_k+1


Tenemos:

A - B = a_i + a_j - b
↓
A - B = a_i + a_j - a_i * a_j
↓
A - B = a_j * (1 - a_i) + a_i

Como a_j > 1, se tiene:

A - B > 1 - a_i + a_i = 1

Por hipótesis inductiva, B > n. Por lo tanto:

A = B + (A - B) > n + 1

L.Q.Q.D.

Un problema tonto de inducción Esto es para ti, J!

Dejando a un lado el problema de la intrascendencia, he de decir que he soñado. Insertado en uno de aquellos sueños (literalmente, fue una vivencia onírica) volví a encontrar -otra vez- este necio problema de inducción que se niega a ser resuelto por mí (no le he dedicado espacio en estos tiempos, tampoco). Corresponde al Capítulo I del libro Calculus, escrito por Tom Apostol. La letra "I" que acompaña a este capítulo no hace referencia a la enumeración romana, sino a la inicial de "Introducción". El capítulo 1 es el siguiente. En fin, sin más preámbulos, el problema es éste:

Existe un caso especial que sí he logrado resolver: cuando G = 1. Quizá haga un post para esa demostración, pero necesitaré de una paciencia casi infinita, y no sé si la presente. En lo anterior, faltó definir qué se entiende por media de potencias p-ésimas. Les presento entonces su enunciado:

Saludos a todos.