Problema de inducción: Resolución parcial.

Hace relativamente poco dejé un pequeño problema de inducción, cuyo enunciado podrá encontrar aquí y por supuesto, no repetiré. Como mencioné, había resuelto parcialmente -junto a Pipo- un caso específico de este ejercicio, vale decir, cuando G = 1, por supuesto, utilizando inducción. Así que comienzo.

Veamos para n = 2. Tendríamos que a₁ * a₂ = 1. Por otra parte:

(a₁ - 1)² = a₁² - 2 * a₁ + 1 > 0
↓
a₁² + 1 > 2 * a₁
↓

a12 + 1	> 2
a1

↓

a1 +	1	> 2
	a1

↓
a₁ + a₂ > 2
Por lo tanto, es válido para n = 2

Supóngase cierto para n = k.

Para n = k +1 se tiene:

a₁ * a₂ * ··· * a_k * a_k+1 = 1. Si a₁ = ··· = a_k+1 = 1, el problema se torna trivial. Supóngase que al menos existe un a_i tal que a_i ≠ 1. Entonces, debe existir al menos un a_j tal que a_j > 1. Hagamos b = a_i * a_j. Entonces, se tiene:

1 = a₁ * ··· * a_i * ··· * a_j * ··· * a_k+1
↓
1 = b * a₁ * ··· * a_i-1 * a_i+1 * ··· * a_j-1 * a_j+1 * ··· * a_k+1

Llamemos:
A = a₁ + ··· + a_i + ··· + a_j + ··· + a_k+1
B = b + a₁ + ··· + a_i-1 + a_i+1 + ··· + a_j-1 + a_j+1 +··· + a_k+1


Tenemos:

A - B = a_i + a_j - b
↓
A - B = a_i + a_j - a_i * a_j
↓
A - B = a_j * (1 - a_i) + a_i

Como a_j > 1, se tiene:

A - B > 1 - a_i + a_i = 1

Por hipótesis inductiva, B > n. Por lo tanto:

A = B + (A - B) > n + 1

L.Q.Q.D.